Einführung am Einheitskreis

In der 10. Jahrgangsstufe werden die beiden Funktionen am Einheitskreis vertieft. Die beschränkte Definition von Sinus und Cosinus für Winkel zwischen $0^\circ$ und $90^\circ$ wird dadurch verallgemeinert.

Der Einheitskreis

Um den Ursprung in einem kartesischen Koordinatensystem wird ein Kreis mit Radius $1$ gezogen. Somit sind die Schnittpunkte mit den Achsen $(0|-1),(0|1),(-1|0),(1|0)$. Als nächstes wird ein beliebiger Punkt $P=(x;y)$ auf den Einheitskreis gesetzt. Den Punkt verbindet man zum Einen mit dem Ursprung, zum Anderen wird $P$ auf die $x$-Achse projiziert. Durch die Verbindung der drei Punkte entsteht ein rechtwinkliges Dreieck.

In der interaktiven Visualisierung unten ist der Einheitskreis nach rechts oben verschoben, um die Graphen der Sinus- und Cosinusfunktionen nicht zu verdecken.

Anleitung: Schieberegler unterhalb des Koordinatensystems von links nach rechts bewegen. Oder den Punkt auf dem Einheitskreis bewegen.

Der Winkel $\alpha$ wird von der Hypotenuse und der $x$-Achse eingeschlossen. Die Hypotenuse ist offensichtlich $1$, da sie gleich dem Kreisradius ist. Somit können die Formeln der vorherigen Seite genutzt werden und es folgt:

$$\sin(\alpha)=y \qquad\text{ (orange)}$$

$$\cos(\alpha)=x \qquad\text{ (dunkelblau)}$$

Verlässt der Punkt $P$ nun den ersten Quadranten, so geht der spitze Winkel verloren und der Sachverhalt kann verallgemeinert werden, indem weiterhin das rechtwinklige Dreieck betrachtet wird, dass durch die Projektion von $P$ auf die $x$-Achse entsteht.

Die nachfolgenden Videos zeigen eine Wiederholung der Funktionen in der 11. Klasse und werden beim Thema Differenzierung wieder aufgegriffen.

Die von der Lehrerin genutzte interaktive Visualisierung können Sie hier selbst ausprobieren und im Unterricht nutzen.

Anleitung: In die Eingabe die Funktionen $\sin(x)$ oder $\cos(x)$ eingeben. Den grünen Schieberegler bewegen und hierbei die Wertetabelle betrachten.

Weitere Informationen zu den trigonometrischen Funktionen finden sie in (Korntreff, 2017).

Aufgabe dazu …

Aufgabe 6